線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 4 & 1 & 18 \\ 0 & - 3 & 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 1.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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ステップ 1.1.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{18}{4} \\ 0 & - 3 & 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{9}{2} \\ 0 & - 3 & 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 1.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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ステップ 1.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{9}{2} \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 6 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 (\frac{9}{2}) \end{array}]$

ステップ 1.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & \frac{27}{4} & \frac{27}{2} \end{array}]$

ステップ 1.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{4}{27}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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ステップ 1.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{4}{27}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{9}{2} \\ \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{2} \end{array}]$

ステップ 1.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{9}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.4

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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ステップ 1.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & \frac{9}{2} - \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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ステップ 1.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 1.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{22},$ and $a_{33}$

Pivot Columns: $1, 2,$ and $3$

線形代数 例

線形代数例